Regional 2006 (3er nivel)

Hola a todos! Sigo publicando problemas, ahora los de la ronda que se viene para los que pasaron la zonal. Estos son los problemas del TERCER NIVEL:

1. Hallar todos los pares de números enteros M y N que verifican simultáneamente las siguientes condiciones:

· M y N son números de cuatro dígitos.

· M y N son cuadrados perfectos.

· Si se resta ordenadamente a cada dígito de M el correspondiente dígito de N (el primero menos el primero, el segundo menos el segundo, etc.) entre los cuatro resultados obtenidos, exactamente dos son ceros y los otros dos son 1 ó –1 (pueden ser los dos 1, los dos –1 o un 1 y un –1).

2. Hallar el máximo número natural de 100 dígitos tal que al multiplicarlo por 7 se obtiene un número de 100 dígitos.

3. Sea AB una cuerda de longitud 6 de una circunferencia de centro O y radio 5. El cuadrado PQRS está inscripto en el sector OAB de modo tal que P está en el radio OA, Q está en el radio OB y R y S pertenecen al arco de circunferencia . Hallar el área del cuadrado PQRS.