Regional 2006 (1er nivel)

Hola a todos! Sigo publicando problemas, ahora los de la ronda que se viene para los que pasaron la zonal. Estos son los problemas del PRIMER NIVEL:

1. En el pizarrón están escritos los enteros positivos de 1 a 999, ordenados de izquierda a derecha en forma creciente. Se borran números mediante el siguiente procedimiento: En la primera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista (se borran el 2, el 4, el 6, etc.). En la segunda etapa, comenzando de la derecha, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el principio de la lista. En la tercera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista. Y así siguiendo, en cada etapa se invierte el orden de la etapa anterior, y comenzando desde el extremo que corresponda se deja un número y se borra el siguiente una y otra vez hasta recorrer todos los números aun no borrados. El proceso se detiene cuando queda un solo número en el pizarrón. Determinar cuál es ese número.

2. En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas. En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el ganador, pero también es siempre la misma cantidad. Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos, y el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas tiene 176 puntos. Determinar cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de cada prueba.
ACLARACIÓN: La cantidad de puntos que recibe cada equipo en cada prueba es un entero positivo.

3. Dos hormigas caminan por los lados de un cuadrado de 35 cm de lado. Comienzan a moverse simultáneamente, desde el mismo vértice y en sentidos opuestos. Una hormiga va a 1 cm/seg y la otra a 2 cm/seg. Calcular la distancia (en línea recta) que separa a las hormigas cuando han transcurrido exactamente 817 segundos desde que salieron.