Regional 2006 (1er nivel)

Hola a todos! Sigo publicando problemas, ahora los de la ronda que se viene para los que pasaron la zonal. Estos son los problemas del PRIMER NIVEL:

1. En el pizarrón están escritos los enteros positivos de 1 a 999, ordenados de izquierda a derecha en forma creciente. Se borran números mediante el siguiente procedimiento: En la primera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista (se borran el 2, el 4, el 6, etc.). En la segunda etapa, comenzando de la derecha, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el principio de la lista. En la tercera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista. Y así siguiendo, en cada etapa se invierte el orden de la etapa anterior, y comenzando desde el extremo que corresponda se deja un número y se borra el siguiente una y otra vez hasta recorrer todos los números aun no borrados. El proceso se detiene cuando queda un solo número en el pizarrón. Determinar cuál es ese número.

2. En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas. En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el ganador, pero también es siempre la misma cantidad. Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos, y el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas tiene 176 puntos. Determinar cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de cada prueba.
ACLARACIÓN: La cantidad de puntos que recibe cada equipo en cada prueba es un entero positivo.

3. Dos hormigas caminan por los lados de un cuadrado de 35 cm de lado. Comienzan a moverse simultáneamente, desde el mismo vértice y en sentidos opuestos. Una hormiga va a 1 cm/seg y la otra a 2 cm/seg. Calcular la distancia (en línea recta) que separa a las hormigas cuando han transcurrido exactamente 817 segundos desde que salieron.

Regional 2006 (2do nivel)

Hola a todos! Sigo publicando problemas, ahora los de la ronda que se viene para los que pasaron la zonal. Estos son los problemas del SEGUNDO NIVEL:

1. En un colegio, el 81% de los alumnos estudia inglés y el 80% de los alumnos estudia computación. La proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que estudian computación es igual al doble de la proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que no estudian computación. Hallar el porcentaje de alumnos de la escuela que no estudia ni inglés ni computación.

2. La profesora escribe en el pizarrón una fila de dígitos 8 y le pide a un alumno que intercale algunos signos + para que la suma que quede indicada tenga resultado 1000. Dar todas las posibilidades para la cantidad de dígitos 8 que debe escribir la profesora para que la tarea del alumno tenga solución.

3. En el triángulo ABC, sea P un punto interior. La recta AP corta al lado BC en D, la recta BP corta al lado AC en E y la recta CP corta al lado AB en F. Se sabe que área (APF) =168; área(BPD)=80; área (CPD) = 60 y área (CPE) = 70.
Calcular el área del triángulo APE y el área del triángulo BPF.

Regional 2006 (3er nivel)

Hola a todos! Sigo publicando problemas, ahora los de la ronda que se viene para los que pasaron la zonal. Estos son los problemas del TERCER NIVEL:

1. Hallar todos los pares de números enteros M y N que verifican simultáneamente las siguientes condiciones:

· M y N son números de cuatro dígitos.

· M y N son cuadrados perfectos.

· Si se resta ordenadamente a cada dígito de M el correspondiente dígito de N (el primero menos el primero, el segundo menos el segundo, etc.) entre los cuatro resultados obtenidos, exactamente dos son ceros y los otros dos son 1 ó –1 (pueden ser los dos 1, los dos –1 o un 1 y un –1).

2. Hallar el máximo número natural de 100 dígitos tal que al multiplicarlo por 7 se obtiene un número de 100 dígitos.

3. Sea AB una cuerda de longitud 6 de una circunferencia de centro O y radio 5. El cuadrado PQRS está inscripto en el sector OAB de modo tal que P está en el radio OA, Q está en el radio OB y R y S pertenecen al arco de circunferencia . Hallar el área del cuadrado PQRS.

Zonal 2006 (3er nivel)

Hola a todos! Sigo publicando problemas, ahora los de la ronda que se viene para los que pasaron la intercolegial. Estos son los problemas del TERCER NIVEL:

1. Nacho escribió una progresión aritmética de primer término 101 y diferencia 2: 101, 103, 105, ...
Nico escribió una progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 10: 5, 15, 25, ...
Las dos progresiones tienen la misma cantidad de términos y las dos progresiones tienen la misma suma. Determinar cuántos términos tiene cada progresión y cuánto vale la suma.

2. Si a, b son números tales que

calcular el producto ab.

3. Sea ABC un triángulo rectángulo con , y . Sean D y E puntos del lado BC tales que y . Calcular la medida del ángulo

Zonal 2006 (2do nivel)

Hola a todos! Sigo publicando problemas, ahora los de la ronda que se viene para los que pasaron la intercolegial. Estos son los problemas del SEGUNDO NIVEL:

1. Hallar los seis números que se deben escribir en cada una de las seis casillas vacías para obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la misma suma.

2. Ana, Beto, Ceci, Dany y Eva tienen entre los cinco 80 monedas de un peso. La cantidad de monedas que tienen en conjunto Beto y Dany es igual a la quinta parte de las que tienen, en conjunto, Ana y Ceci. La cantidad de monedas que tienen en conjunto Ceci y Dany es igual a 6 veces las que tienen, en conjunto, Ana y Beto. Determinar cuántas monedas tiene cada uno si se sabe que Beto tiene 2 monedas más que Ana.

3. Sean P y Q puntos del plano tales que . La circunferencia de centro Q y radio 25 corta al segmento PQ en A.
La recta perpendicular a PQ trazada por A corta a la circunferencia de centro P y radio 41 en los puntos B y C.
Calcular la medida del segmento BC.

Zonal 2006 (1er nivel)

Hola a todos! Sigo publicando problemas, ahora los de la ronda que se viene para los que pasaron la intercolegial. Estos son los problemas del PRIMER NIVEL:

1. En el pizarrón se escriben los números enteros positivos impares desde 1 hasta 47, uno a continuación del otro, sin espacios intermedios. Queda así una larga secuencia de 43 dígitos (el primero es 1 y el último es 7):

135791113...4547.

Hay que borrar 33 dígitos de modo que los 10 dígitos que queden escritos, leídos de izquierda a derecha, formen el mayor número de 10 dígitos posible.
Determinar cuál es el número de 10 dígitos que quedará escrito en el pizarrón.

2. Un auto viaja de A a B a velocidad constante. A las 8 de la mañana ha recorrido exactamente la tercera parte del camino entre A y B, y a las 12 del mediodía lleva recorrido, en total, las partes del camino entre A y B. Determinar a qué hora ha recorrido exactamente la mitad del camino entre A y B.

3. Se tiene un triángulo ABC y un punto interior P tal que , y .
Calcular los ángulos del triángulo ABC.

Intercolegial 2006 (3er nivel)

Para empezar a entrenar con algo sencillo, publico los problemas de la intercolegial (es la primera ronda de las olimpíadas) del año pasado. Estos son los problemas del Tercer nivel (6to BTO)

TERCER NIVEL

1. En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 2006. Nacho borra números con el siguiente procedimiento: Recorre los números del pizarrón ordenadamente de menor a mayor comenzando con el 3. Borra el 3 y cada vez que llega a un número que se puede escribir
como suma de dos números distintos que no se hayan borrado hasta ese momento, lo borra. Determinar cuántos números quedarán en el pizarrón cuando Nacho concluya su tarea.

2. En un parque sólo hay gatos de dos colores: completamente blancos y completamente negros. Algunos son machos y los otros, hembras.
Los machos son el 55% del total de los gatos del parque.
La proporción entre machos blancos y machos negros es igual a la proporción entre gatos blancos y gatos negros.

Hallar la proporción entre machos blancos y hembras blancas.

3. Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa BC. Consideramos los puntos D en el cateto AB y E en el cateto AC tales que

y . La paralela a AC por D corta a BC en G, y la paralela a AB por E corta a BC en F.

Si el área del trapecio DEFG es igual a 10, calcular la longitud de los catetos del triángulo ABC.

Intercolegial 2006 (2do nivel)

Para empezar a entrenar con algo sencillo, publico los problemas de la intercolegial (es la primera ronda de las olimpíadas) del año pasado. Estos son los problemas del Segundo nivel (4to y 5to BTO)

SEGUNDO NIVEL

1. En la tabla de la figura x, y, z representan números enteros. La suma de los cuatro números de la primera fila es igual a 78; la suma de los cuatro números de la cuarta fila es igual a 102 y la suma de los cuatro números de la segunda columna es igual a 81. (Tal como se indica en la figura.)
Hallar la suma de los 16 números de la tabla.

2. Un pequeño avión tarda 7 horas más que otro en ir de A a B. Las velocidades de los dos aviones son 660 km/h y 275 km/h. Calcular la

distancia entre A y B.

3. Sea ABC un triángulo rectángulo con

, y . Se traza por B la perpendicular a AC, que corta a AC en D. Sea E en el lado AC tal que .

Se traza por E la perpendicular a AC que corta a AB en F. Calcular la medida del segmento EF.

Intercolegial 2006 (1er nivel)

Para empezar a entrenar con algo sencillo, publico los problemas de la intercolegial (es la primera ronda de las olimpíadas) del año pasado. Estos son los problemas del primer nivel (2do y 3ro BTO)

Espero sus ideas y soluciones!

PRIMER NIVEL

1. Hay que escribir los números enteros del 1 al 7, uno en cada casilla, sin repeticiones, de modo que la suma de los tres números de cada una de

las tres líneas (una horizontal y dos verticales) sea la misma. Ya se escribieron el 3 y el 4. Ubicar los demás números.

2. Emilio tiene una bolsa con dos clases de caramelos, de frutilla y de leche. Le regala la quinta parte de los caramelos de leche a su hermanito y resulta que la cantidad de caramelos de leche que quedan en la bolsa es igual a de la cantidad de caramelos de frutilla de la bolsa. Luego le regala 56 caramelos de frutilla a sus compañeros de clase. Así, en la bolsa la cantidad de los caramelos de frutilla es igual a de los de leche.

¿Cuántos caramelos de cada clase quedan en la bolsa?

3. Sean ABC un triángulo y D un punto del lado BC tal que y . En la prolongación del lado AC se marca el punto E tal

que (C queda entre A y E). Calcular la medida del ángulo .