miércoles, 19 de septiembre de 2007

Los poderes visuales de Mondulio.
2. La visión de rayos X

Zonal / segundo nivel / 2007
Se tienen 20 tarjetas, cada una con un número entero distinto desde el 1 hasta el 20. Hay que formar 9 grupos de tarjetas de modo que en cada grupo la multiplicación de los números de las tarjetas sea un cuadrado perfecto. Cada tarjeta se usa como mucho una vez y puede haber tarjetas que no se usan. Los grupos pueden tener una o más tarjetas cada uno, y si un grupo tiene una sola tarjeta el número de esa tarjeta tiene que ser un cuadrado perfecto.

¿Qué forma tienen los cuadrados perfectos? 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, ...
Con la visión rayos X (de factorización) Mondulio ve 1, 2x2, 3x3, 2x2x2x2, 5x5, 2x2x3x3, 7x7, 2x2x2x2x2x2, 3x3x3x3, 2x2x5x5, 11x11, 2x2x2x2x3x3, 13x13, 2x2x7x7. Se ve que todo factor primo aparece un número par de veces, ya que como son cuadrados perfectos los factores deberían poder partirse, y lo hacen, en dos conjuntos iguales.

Si hay que elegir algunos números de 1 a 20 para que se puedan agrupar en nueve conjuntos tales que multiplicadas den cuadrados perfectos.

Mondulio ve con su visión de rayos X los números: 1, 2, 3, 2x2, 5, 2x3, 7, 2x2x2, 3x3, 2x5, 11, 2x2x3, 13, 2x7, 3x5, 2x2x2x2, 17, 2x3x3, 19, 2x2x5.

Decide entonces tomar acciones.
1. Tomar 1, 4, 9 y 16 que son por sí mismos cuadrados perfectos.
2. Descartar los números 11, 13, 17 y 19 que no tienen otro factor igual entre los números de 1 a 20 lo que no permite formar cuadrados perfectos.

Quedan por agrupar 2, 3, 5, 2x3, 7, 2x2x2, 2x5, 2x2x3, 2x7, 3x5, 2x3x3, 2x2x5. para formar los cinco cuadrados perfectos que faltan.

5 y 2x2x5 o sea 5 y 20 forman el 100 que es CP
2 y 2x3x3 o sea 2 y 18 forman el 36 que es CP
3 y 2x2x3 o sea 3 y 12 forman el 36 que es CP

Quedan finalmente 2x3, 7, 2x2x2, 2x5, 2x7, 3x5 que no se pueden agrupar de a pares pero si de a trios.
El 7 tiene que aparearse con el 2x7 y para emparejar los 2 agregamos el 2x2x2 con lo cual se forma el trío 7, 8 y 14 que forma el cuadrado perfecto 784 = 28x28.
Finalmente queda el trío 2x3, 2x5 y 3x5 o sea 6,10 y 15 que forman el cuadrado perfecto 900 = 30x30.

Los poderes visuales de Mondulio
1. La visión infrarroja

Regional / primer nivel / 1995
Escribir en cada vértice de un cuadrado una potencia de 2 y luego, en cada lado y en cada diagonal escribir el producto de los números asignados a sus extremos, de modo tal que la suma de los 10 números escritos sea 3505. ACLARACION: Las potencias de 2 son 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, ...


La habilidad visual que es útil para este problema es la de ver los números como sumas de potencias de dos. Esto no es otra cosa que ver los números en base 2.
¿Cómo se ve 3505 en base 2? Se lo va dividiendo por 2 y se van tomando los restos de las sucesivas divisiones como dígitos de la representación de 3505 en base 2.


2^X --- 2^Y
\ /
\ /
\/
/\
/ \
/ \
2^Z --- 2^W



2^X-2^X+Y-2^Y
\ /
2^X+W /
2^X+Z \/ 2^Y+W
/\
2^Y+Z \
/ \
2^Z-2^Z+W-2^W


como 3505 es impar entonces uno de los exponentes W,X,Y,Z debe ser cero. Supongamos que sea W=0.

2^X -2^X+Y-2^Y
\ /
2^X /
2^X+Z \/ 2^Y
/\
2^Y+Z \
/ \
2^Z - 2^Z--1


La suma total termina siendo 2^(X+Y)+2^(X+Z)+2^(Y+Z)+2^(X+1)+2^(Y+1)+2^(Z+1)+1
Como el desarrollo de 3505 en base 2 es 110110110001 = 2^11+2^10+2^8+2^7+2^5+2^4+2^0


Podemos suponer sin "perder generalidad" que X>Y>Z entonces de ahí deducimos que Z = 3, Y = 4 por ser 2^4 y 2^5 las potencias menores de 2 fuera de 2^0 presentes en el desarrollo binario de 3505. Nos queda entonces que 2^7 es 2^(Y+Z), con lo cual X = 7 por ser 2^(X+1) = 2^8 la potencia de dos más chica sin definir.

Finalmente 2^(X+Z) = 2^(7+3) = 2^10 y 2^(X+Y) = 2^(7+4) = 2^11 que son las dos potencias del desarrollo binario de 3505 que me faltaba definir.
¿Qué hace que las personas sean personales?
Respuesta: las experincias vividas.
Si yo escuché una balalaica o uso habitualmente sobretodos o como queso Romadur, tengo vicencias diferentes a quienes nunca tuvieron esas experiencias y seguramente han tenido otras que yo no he tenido, como ver Bailando por un Sueño o haber escalado el Everest y eso los hace personales.La experiencia matemática, como todas las experiencias de la vida, contribuye también a hacer personales a las personas. La visión de los números enteros de una persona que ha tenido experiencia matemática (Mondulio) es diferente de una persona que no ha tenido esa suerte (Obdulio).
Cuando Mondulio ve un 12 ve además 2*2*3 o ve 2*2*2+2*2 o ve 1100 o ve 2*(2*(2+1))+0)+0 o ve un 000000000000 o ve un 5 modulo 7. En cambio cuando Obdulio ve un 12 ve simplemente un 12.En cierto sentido Mondulio es como los perros o los murciélagos que son capaces de percibir otros tipos de ondas que los humanos no pueden. O puede pensarse que su visión está enriquecida por instrumentos como visores infrarrojos que permiten ver en la oscuridad o visores de rayos X que ven a través de las paredes.

martes, 11 de septiembre de 2007

Sobre la regional que se viene...

Hola a todos! Les cuento que este año no los voy a poder acompañar a la regional porque voy a estar de viaje, y como además se vienen todos los feriados de septiembre, casi que no nos vamos a ver la cara por un largo tiempo... Les deseo mucha mucha suerte y les dejo a continuación problemas de la regional del 2004 para que practiquen!
Por favor no se olviden de llevar las autorizaciones ni bien puedan los que todavía no lo hicieron, y déjenlas en el departamento de matemática, o en rectoría para que las sellen.
De nuevo, mucha suerte! Nos vemos en la nacional ;)
Martín.

Regional 2004 (1er Nivel)

Estos son los problemas del Primer nivel

1

La ley pirata establece que para repartir las monedas de un tesoro el capitán debe elegir un grupo de piratas y repartir equitativamente las monedas entre los piratas elegidos hasta que no haya suficientes para darle una más a cada uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán. Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000 monedas de oro. El sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si elige 77 piratas le corresponderán sólo 29 monedas.
Determinar cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la mayor cantidad de monedas respetando la ley pirata, y para esa cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan.
ACLARACIÓN: Los piratas elegidos deben recibir por lo menos una moneda cada uno.

2

Nico debe elegir tres números enteros distintos entre 1 y 20 inclusive de modo que al multiplicar los tres números se obtenga un múltuplo de 4.
Calcular cuántas maneras tiene Nico de elegir sus tres números.
ACLARACIÓN: Dos elecciones que tienen los mismos tres números no importa en qué orden, son iguales.

3

En un trapecio ABCD de base mayor AB, base menor DC y lados no paralelos BC y DA, sea K el punto del lado BC tal que BK = 1/3 BC. Se traza por K la recta paralela a DA que corta a AB en L.
Si BL = CD y el área del trapecio ABCD es 20, calcular el área del triángulo ADL.

Regional 2004 (2do Nivel)

Estos son los problemas del Segundo Nivel

1

En un tablero cuadriculado de m x n se ubica una ficha en el centro de cada casilla y una ficha en cada vértice de la cuadrícula hasta que no quede lugar para más fichas (en la figura se muestra el tablero de 2 x 3 con sus 18 fichas).
Hallar las dimensiones m y n del tablero de m x n si se utilizan exactamente 500 fichas. Dar todas las posibilidades.

2

Fabio debe escribir una sucesión de números naturales.
El primer número lo elige Fabio entre 1 y 2004 inclusive, y a partir de alli, cada nuevo número se obtiene del anterior de acuerdo con la siguiente regla: si el anterior es impar, le suma 1, si el anterior es par, lo divide por 2. El proceso se detiene cuando se obtiene por primera vez el 1. Por ejemplo, si Fabio elige el primer número igual a 10, la sucesión será: 10, 5, 6, 3, 4, 2, 1, que tiene 7 números.
El objetivo de Fabio es lograr que su sucesión tenga la mayor cantidad posible de números. Determinar cuál es la máxima cantidad de números que puede tener la sucesión de Fabio y hallar un número inicial que le permita lograr una sucesión con esa cantidad máxima de números.

3

En el cuadrado ABCD de lado 6, sea M el punto medio del lado AD y N el punto medio del lado AB. La diagonal BD corta a CN en K y a CM en L.
Calcular el área del cuadrilátero KLMN.

Regional 2004 (3er Nivel)

Estos son los problemas del Tercer Nivel

1

Un programa de computadora genera una sucesión de 2004 números, de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 1, y a partir de allí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a x + 1/[x].
Los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; ... ; pues ...
Determinar cuál es el último número que genera el programa.
ACLARACIÓN: Los corchetes indican la parte entera del número.

2

Se suman las 102 potencias de 7 desde 70 = 1 hasta 7101:

70 + 71 + ... + 7100 + 7101.
Calcular el resto de dividir al resultado de esta suma por 400.

3

Dado un triángulo ABC rectángulo en C, con AC/BC = 3, sea O el punto medio de la hipotenusa AB.
Se traza por O la perpendicular a AB que corta al cateto AC en P; se traza por P la paralela a AB que corta al cateto BC en Q y se traza por Q la perpendicular a AB que corta a AB en R.
Calcular PQ/RQ