Regional 2004 (3er Nivel)

Estos son los problemas del Tercer Nivel

1

Un programa de computadora genera una sucesión de 2004 números, de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 1, y a partir de allí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a x + 1/[x].
Los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; ... ; pues ...
Determinar cuál es el último número que genera el programa.
ACLARACIÓN: Los corchetes indican la parte entera del número.

2

Se suman las 102 potencias de 7 desde 7⁰ = 1 hasta 7¹⁰¹:

7⁰ + 7¹ + ... + 7¹⁰⁰ + 7¹⁰¹. Calcular el resto de dividir al resultado de esta suma por 400.

3

Dado un triángulo ABC rectángulo en C, con AC/BC = 3, sea O el punto medio de la hipotenusa AB.
Se traza por O la perpendicular a AB que corta al cateto AC en P; se traza por P la paralela a AB que corta al cateto BC en Q y se traza por Q la perpendicular a AB que corta a AB en R.
Calcular PQ/RQ