Regional 2004 (2do Nivel)

Estos son los problemas del Segundo Nivel

1

En un tablero cuadriculado de m x n se ubica una ficha en el centro de cada casilla y una ficha en cada vértice de la cuadrícula hasta que no quede lugar para más fichas (en la figura se muestra el tablero de 2 x 3 con sus 18 fichas).
Hallar las dimensiones m y n del tablero de m x n si se utilizan exactamente 500 fichas. Dar todas las posibilidades.

2

Fabio debe escribir una sucesión de números naturales.
El primer número lo elige Fabio entre 1 y 2004 inclusive, y a partir de alli, cada nuevo número se obtiene del anterior de acuerdo con la siguiente regla: si el anterior es impar, le suma 1, si el anterior es par, lo divide por 2. El proceso se detiene cuando se obtiene por primera vez el 1. Por ejemplo, si Fabio elige el primer número igual a 10, la sucesión será: 10, 5, 6, 3, 4, 2, 1, que tiene 7 números.
El objetivo de Fabio es lograr que su sucesión tenga la mayor cantidad posible de números. Determinar cuál es la máxima cantidad de números que puede tener la sucesión de Fabio y hallar un número inicial que le permita lograr una sucesión con esa cantidad máxima de números.

3

En el cuadrado ABCD de lado 6, sea M el punto medio del lado AD y N el punto medio del lado AB. La diagonal BD corta a CN en K y a CM en L.
Calcular el área del cuadrilátero KLMN.