miércoles, 19 de septiembre de 2007

Los poderes visuales de Mondulio
1. La visión infrarroja

Regional / primer nivel / 1995
Escribir en cada vértice de un cuadrado una potencia de 2 y luego, en cada lado y en cada diagonal escribir el producto de los números asignados a sus extremos, de modo tal que la suma de los 10 números escritos sea 3505. ACLARACION: Las potencias de 2 son 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, ...


La habilidad visual que es útil para este problema es la de ver los números como sumas de potencias de dos. Esto no es otra cosa que ver los números en base 2.
¿Cómo se ve 3505 en base 2? Se lo va dividiendo por 2 y se van tomando los restos de las sucesivas divisiones como dígitos de la representación de 3505 en base 2.


2^X --- 2^Y
\ /
\ /
\/
/\
/ \
/ \
2^Z --- 2^W



2^X-2^X+Y-2^Y
\ /
2^X+W /
2^X+Z \/ 2^Y+W
/\
2^Y+Z \
/ \
2^Z-2^Z+W-2^W


como 3505 es impar entonces uno de los exponentes W,X,Y,Z debe ser cero. Supongamos que sea W=0.

2^X -2^X+Y-2^Y
\ /
2^X /
2^X+Z \/ 2^Y
/\
2^Y+Z \
/ \
2^Z - 2^Z--1


La suma total termina siendo 2^(X+Y)+2^(X+Z)+2^(Y+Z)+2^(X+1)+2^(Y+1)+2^(Z+1)+1
Como el desarrollo de 3505 en base 2 es 110110110001 = 2^11+2^10+2^8+2^7+2^5+2^4+2^0


Podemos suponer sin "perder generalidad" que X>Y>Z entonces de ahí deducimos que Z = 3, Y = 4 por ser 2^4 y 2^5 las potencias menores de 2 fuera de 2^0 presentes en el desarrollo binario de 3505. Nos queda entonces que 2^7 es 2^(Y+Z), con lo cual X = 7 por ser 2^(X+1) = 2^8 la potencia de dos más chica sin definir.

Finalmente 2^(X+Z) = 2^(7+3) = 2^10 y 2^(X+Y) = 2^(7+4) = 2^11 que son las dos potencias del desarrollo binario de 3505 que me faltaba definir.

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